Группа гравитационистов изучила устойчивость черной дыры Керра с малым угловым моментом. В работе на 912 страниц физики доказали целый ряд теорем, связанных с постановкой задачи Коши для вакуумных уравнений Эйнштейна, и разработали для этого новый формализм.
Черная дыра в галактике Мессье 87. Это первое в истории фото черной дыры
© Event Horizon Telescope Collaboration/National Science Foundation
В математике и физике задача о начальных данных (задача Коши) в общих чертах может быть сформулирована следующим образом: зная состояние системы в некоторый момент времени, можно ли предсказать ее дальнейшее развитие и если да, то как это развитие зависит от начального состояния? Конкретный путь развития системы для определенных начальных данных принято называть решением задачи Коши. Задача Коши поставлена корректным образом, когда у нее существует решение, которое единственно и устойчиво. Устойчивость решения задачи Коши подразумевает, что «малые» изменения начальных данных порождают «малые» изменения самого решения.
Последние несколько десятков лет теоретики пытались математическим образом доказать устойчивость черных дыр — решений вакуумных уравнений Эйнштейна. В Эйнштейновской гравитации взаимодействие между объектами материи происходит за счет искривления пространства. Само пространство-время может быть описано с помощью пары (M, g), где M — некоторое 4-мерное многообразие , которое имеет одну временную координату t и три пространственных координат xi (i=1, 2, 3), а g — метрика на этом многообразии. Найти метрику g можно из уравнений Эйнштейна, которые в случае отсутствия материи (в вакууме) имеют вид (подробнее о гравитации Эйнштейна): Rab=0, где Rab — тензор Риччи, который зависит от первых и вторых производных метрики по координатам многообразия M (a, b = 0, 1, 2, 3).
Для задания начальных условий можно зафиксировать метрику g’ на некоторой пространственноподобной гиперповерхности S0 (то есть, на 3-х мерной поверхности в M, любые две точки которой соединены пространственноподобным интервалом) в начальный момент времени t0. Тогда уравнения Эйнштейна можно воспринимать как уравнения, описывающие дальнейшую эволюцию этой гиперповерхности в различные моменты времени. Решением такой задачи Коши является метрика g(t, xi), заданная на M , которая в момент t0 совпадает с g’ на гиперповерхности S0, называемой гиперповерхностью Коши. Устойчивость решения приобретает следующий смысл: если мы возьмем две достаточно близких метрики на гиперповерхности Коши S0, то решения гравитационных задач (каждая со своим начальным условием) должны быть также близки.
В одной из первых работ физиков Ивонны Шоке-Брюа (Yvonne Choquet-Bruhat) и Роберта Героха (Robert Geroch) 1969 года была доказана теорема о существовании, единственности и устойчивости решения гравитационной задачи в случае, когда 4-мерное пространство-время (M, g) является глобально гиперболическим пространством или, другими словами, когда любая времени- или светоподобная кривая, проходящая через любую точку 4-мерного пространства, пересекает S0. Однако приведенное ими доказательство не работает в случае решений уравнений Эйнштейна в виде черных дыр, так как последние имеют более сложную причинную структуру.
Спустя 53 года, Элена Джорджи (Elena Giorgi), Серджиу Клейнерман (Sergiu Klainerman) и Джереми Шефтель (Jeremie Szeftel) смогли обобщить теорему на случай асимптотически плоских пространств (которым является черная дыра Керра). В своей работе теоретики показали, что для начальных данных близких к решению в виде вращающейся черной дыры Керра решения асимптотически ведут себя как пространство-время Керра. По-другому, если малым образом возмутить решение Керра, то бесконечно-удаленный наблюдатель, спустя достаточное время, увидит то же решение в виде черной дыры с возможно немного измененными угловым моментом J и массой m. Приведенное физиками доказательство работает в случае вращающихся черных дыр с малым угловым моментом: J/m<<1.
Важным «ингредиентом» для доказательства главной теоремы стал механизм фиксирования калибровочных условий (ОТО является калибровочной теорией относительно диффеоморфизмов пространства-времени), основанный на обще-ковариантно модулированных (GCM, generally covariant modulated) сферах и гиперповерхностях. GCM сферы — это компактные поверхности с коразмерностью 2, не связанные с начальными условиями, на которых определенные геометрические величины принимают Шварцшильдовские значения. В свою очередь, GCM гиперповерхности являются пространственноподобными гиперповерхностями с коразмерностью 1, которые покрыты GCM сферами и на которых проверяются дополнительные условия.
Полученные результаты дополняют знания о гравитации Эйнштейна, и, в частности, показывают, что медленно вращающиеся черные дыры не «разрушаются» в результате малого воздействия гравитационными волнами. Теоретики надеются, что в ближайшие несколько лет они смогут обобщить полученные результаты на случай произвольного углового момента и, таким образом, окончательно доказать теорему об устойчивости решения гравитационной задачи о начальных данных.
Препринт статьи доступен на сайте arxiv.org.
Источник: Стефан Курлянд nplus1.ru
